FOTO: 123rf

NJEMAČKI statističar Thomas Royen (70), koji je prije umirovljenja radio u njemačkoj farmaceutskoj industriji, uči će u povijest iz najmanje dva razloga. Prvi je taj što se 2014. dosjetio rješenja jednog od najtežih matematičkih problema koji je desetljećima mučio znanstvenike. Drugi je taj što je zajednici matematičara u vrijeme interneta i superbrzih, neograničenih komunikacija trebalo nekoliko godina da shvati da je problem riješen.

Royenu je rješenje problema, kojim su se neki od ponajboljih matematičara bavili još od 1950-ih, sinulo jedno jutro u srpnju 2014. dok je u kupaonici prao zube.

Problem je poznat kao Gaussova nejednakost korelacije (GCI), a na prvi pogled svakome tko zna nešto matematike izgleda prilično očito. Teorem se može predstaviti na sljedeći način: ako strelicama pikada gađate dva lika koji se preklapaju, primjerice krug i pravokutnik, vjerojatnost da ćete pogoditi presjek ta dva lika bit će jednaka ili veća od umnoška vjerojatnosti da ćete pogoditi pravokutnik s vjerojatnošću da ćete pogoditi krug.

U teoriji vjerojatnosti inače vrijedi pravilo da je vjerojatnost da će se dva neovisna događaja istovremeno dogoditi, jednaka vjerojatnosti jednog događaja umnoženoj s vjerojatnosti drugoga.

U GCI-u, budući da se likovi preklapaju, pogađanje jednog lika povećava vjerojatnost da ćemo pogoditi i drugi. To je intuitivno jasno, no problem je dokazati da to vrijedi, osobito univerzalno za sve likove.

Mnogi matematičari bezuspješno pokušavali riješiti problem

Neki matematičari uspjeli su već ranije dokazati određene posebne slučajeve GCI-a. Primjerice, Loren Pitt s University of Virginia pokazao je da GCI vrijedi za dvodimenzionalne centralnosimetrične konveksne likove. Međutim, ni Pitt ni drugi matematičari nisu uspjeli naći univerzalni dokaz GCI-a.

U svojoj potrazi za dokazom, Royen se vratio svojim korijenima u farmaceutskoj industriji i korijenima same Gaussove nejednakosti korelacije. Naime, američki statističar Olive Dunn još je 1959. koristio GCI kao formulu za računanje raspona u koje će s određenim vjerojatnostima pasti neke varijable.

Zamislite, primjerice, da želite izračunati raspon težine, odnosno mase i visine u koji bi se na temelju mjerenja moglo smjestiti 95 posto određene populacije. Ako visinu smjestite na os x koordinatnog sustava, a težinu na os y, razdioba visine oblikovat će Gaussovu zvonoliku krivulju nad osi x, a razdioba težine sličnu krivulju nad osi y.

Sada se možemo pitati koji su rasponi visine (v) na x i težine (t) na y u koje će pasti većina stanovništva? Te raspone možemo ovako predstaviti: -v < x < v i –t< y <t.

Kada bi visina i težina bile neovisne veličine, rješenje bi bilo jednostavno – trebalo bi izračunati neovisne vjerojatnosti za svaku od varijabli i potom ih jednostavno pomnožiti. Međutim, znamo da visina i težina nisu potpuno neovisne veličine. One su u velikoj mjeri u korelaciji: često su viši ljudi također i teži, a niži su lakši. Kao i u slučaju pikada i likova koji se preklapaju, ako je čovjek normalne visine, to će povećati vjerojatnost da mu je i težina normalna.

Royen je otkrio da bi se ovako formulirana GCI mogla generalizirati tako da ne vrijedi samo za gausijanske raspodjele nasumičnih varijabli, već i za opće statističke razdiobe povezane s kvadratima gausijanskih distribucija.

Matematičari godinama ignorirali Royenov dokaz

Stručnjaci tvrde da se njegov dokaz pokazao toliko jednostavnim i elegantnim da ga može razumjeti svaki diplomant statistike. Royen ga je poslao Donaldu Richardsu, statističaru sa Sveučilišta Penn u SAD-u, koji je odmah shvatio da je rješenje točno jer se sam bavio problemom desetljećima. No druge matematičare nije bilo tako lako uvjeriti. Naime, kroz godine i desetljeća nakupilo se toliko mnogo lažnih dokaza za GCI, da je matematička zajednica prilično otupjela na nove pokušaje.

Primjerice, Royenov dokaz poslan je 2015. Bo'azu Klartagu s Weizmannova Instituta za znanost i Sveučilišta u Tel Avivu u Izraelu zajedno s još dva 'dokaza'. Budući da je u jednom od primljenih dokaza pronašao grešku, Klartag je odložio Royenov i još jedan rad za neko kasnije vrijeme kada bude imao više vremena. Na taj način dokaz je zaboravljen.

Međutim, Royen nije odustao, nego je odlučio lansirati svoj rad kako je sam najbolje znao i umio – objavio ga je u prilično opskurnom indijskom časopisu Far East Journal of Theoretical Statistics, u kojem je sam sjedio u uredništvu. Time je ušao u sukob interesa koji nije baš najbolje sjeo ostatku matematičke zajednice. No Royenu to nije previše teško palo.

„Navikao sam da me znanstvenici s najboljih njemačkih sveučilišta ignoriraju“, rekao je za časopis Quanta. „Nisam baš previše nadaren za rad putem društvenih mreža s drugim znanstvenicima. To mi nije važno za kvalitetu života“, dodao je.

Matematička zajednica potvrdila točnost Royenova dokaza

Na sreću, za Royenov rad saznali su dvojica poljskih matematičara, Rafał Latała i njegov student Dariusz Matlak. Dvojac ga je malo reorganizirao, napisao svoj komentar i konačno krajem 2015. objavio na stranici arXiv.og na kojoj se često objavljuju radovi iz matematike, fizike i računalnih znanosti prije objavljivanja u tisku. Zahvaljujući ovoj objavi, vijest se počela širiti, tako da je matematička zajednica posljednjih mjeseci konačno postala svjesna i priznala da je Royenov dokaz točan.

Royen će vjerojatno trebati odgovoriti na još neka pitanja. Međutim, u cijeloj priči možda je najteže odgovoriti na pitanje kako je moguće da je jedan tako važan rad u vrijeme interneta ostao godinama skriven.