Matematičarka za Index pogodila pobjedu protiv Nigerije. Što predviđa protiv Argentine?

Matematičarka za Index pogodila pobjedu protiv Nigerije. Što predviđa protiv Argentine?

MATEMATIČARKA doc. dr. sc. Franka Miriam Brueckler sa zagrebačkog PMF-a već godinama radi na popularizaciji znanosti, a jedna od najdražih tema joj je matematička (ne)predvidivost nogometa.

U prošlom tekstu za Index točno je predvidjela pobjedu Hrvatske protiv Nigerije s vjerojatnošću od 68 %. Također je pogodila većinu ishoda drugih odigranih utakmica. Od njih 14 za dvije je predvidjela čak i točan broj golova.

U novom, nešto drugačijem izračunu, sada predviđa moguć ishod i rezultate utakmice Hrvatska - Argentina. Istovremeno tumači kako dolazi do svojih predviđanja.

Evo što kaže.

Pred utakmicu Hrvatske s Nigerijom pisali smo kako se iz poznatih prethodnih rezultata (danih i primljenih golova u određenom razdoblju) može procijeniti vjerojatnost određenog rezultata. Što u takvom računu posebno pada u oči je potpuno zanemarivanje razlike u klasama momčadi. Ta naravno da nije svejedno kakve su momčadi koje se susreću u svjetskim razmjerima.

Prvo što pada na pamet je u obzir uzeti službenu FIFA-inu rang ljestvicu. No ako se malo bolje zabavimo postupkom izračunavanja bodova u toj najpoznatijoj ljestvici, lako uočimo jednu manu: pobjeda nad, primjerice, Andorom vrijedi jednako kao i pobjeda nad, primjerice, Njemačkom. Štoviše, pobjeda 2:1 vrijedi jednako kao 5:0. Postoji li nešto bolje?

Postoji, i zove se ELO-lista. Ona uzima u obzir i relativne snage protivnika i točne rezultate. ELO-sistem rangiranja izvorno je osmislio američki fizičar i statističar mađarskog porijekla Arpad Elo, u svrhu rangiranja šahista, ali se kasnije prilagodio i za mnoge druge sportove, tako i nogomet. Lista se ažurira nakon svake utakmice. U obzir se uzimaju kako rezultati tako i vrsta natjecanja (pobjeda na utakmici na Svjetskom prvenstvu više znači nego na Europskom, a ta znači više nego u kvalifikacijama itd.). 

Ako znate trenutne ELO-bodove momčadi koje se susreću, iz njih se lako računa vjerojatnost pobjede za svaku od momčadi. U pozadini sljedeće formule je tzv. logistička krivulja čije su primjene u znanosti vrlo široke. Vjerojatnost pobjede za momčad (za svjetska i slična prvenstva u kojima nije bitna uloga domaćin/gost) koja trenutno ima E1 bodova na ELO-listi i igra protiv momčadi s E2 bodova se procjenjuje kao recipročna vrijednost broja 1 + 10^((E2-E1)/400). Pritom je s ^ označeno potenciranje, a recipročna vrijednost broja je 1 podijeljen s tim brojem.

Konkretno, Argentina trenutno na ELO-listi ima 1969 bodova, a Hrvatska 1877. Stoga je vjerojatnost pobjede za Argentinu recipročna vrijednost od 1,5888, odnosno 62,94 %. Za Hrvatsku je pak vjerojatnost pobjede 37,06 %.

Lako vidimo jednu prednost i jednu manu ovakvog predviđanja. Prednost je da se koriste lako i javno dostupni podaci koji objektivno reprezentiraju snage momčadi koje igraju utakmicu. Mana je što nemamo mogućnost procjene vjerojatnosti pojedinih rezultata, štoviše, s obzirom na to da ELO-rangiranje tretira neodlučene kao ''pola pobjeda'', ne znamo koji udio od upravo izračunatih vjerojatnosti uzeti kao vjerojatnost prave pobjede, a koji kao neodlučeno. Primjerice, vjerojatnost 62,94 % za pobjedu Argentine znači da je 62,94 % zbroj vjerojatnosti da Argentina pobijedi Hrvatsku i da igraju neodlučeno. Isto tako je 37,06 % zbroj vjerojatnosti da Hrvatska pobijedi i da igra neodlučeno.

No omjer tih vjerojatnosti je otprilike 1,7, odnosno otprilike 1,7 puta je vjerojatnije da će Argentina pobijediti.

Ako bismo temeljem brojeva neodlučenih ishoda u utakmicama grupne faze u prethodnim prvenstvima procijenili da je vjerojatnost da nasumice odabrana utakmica u grupnoj fazi završi neodlučeno jednaka 27 % (zaokruženi prosjek za podatke iz gornje tablice), mogli bismo uzeti da toliki udio izračunatih postotaka pobjede za Argentinu i Hrvatsku otpada na neodlučeno te bi preostala vjerojatnost pobjede Argentine 45,94 % (73 % od 62,94 %) odnosno Hrvatske 27,05 % (73 % od 37,06 %).

Još bolje bi bilo uzeti u obzir prosjeke neodlučenih utakmica zasebno. Iz ELO-tablice vidljivo je da je od 1005 utakmica u svojoj povijesti Argentina 250 puta igrala neodlučeno (24,88 %), a Hrvatska od 300 njih 80 (26,67 %). Stoga bismo na koncu mogli procijeniti da je vjerojatnost pobjede Argentine (100 % - 24,88 %) puta 62,94 %, odnosno 47,28 %, vjerojatnost pobjede Hrvatske Argentine (100 % - 26,67 %) puta 37,06 %, odnosno 27,17 %, a preostalih 25,55 % je vjerojatnost neodlučenog. Sve navedeno sažimamo u tablici:

Pogledate li ponude kladionica vidjet ćete - naši brojevi su vrlo slični ponuđenim koeficijentima.

Inače, na dvjema web-stranicama koje opisuju matematičke modele za računanje vjerojatnosti koji kombiniraju metode iz prošlog i ovog članka i još neke, našli smo sljedeća predviđanja najvjerojatnijeg rezultata:

Znate li nešto više o temi ili želite prijaviti grešku u tekstu?
Učitavanje komentara